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20 Mayo 2007
DESCRIBE UN ÁREA DE LA METEMATICA (GEOMETRIA, TRIGONOMETRIA, ETC) COMENTA PARA QUE SE UTILIZA Y EN QUE CONSISTE.
TAMBIEN PUDIERAS AGREGAR: INSTRUMENTOS Y UNIDADES DE MEDIDA.
RECUERDA QUE TU PARTICIPACIÓN EN LAS LASES ASISTIDAS SON EVALUADAS,
GEOMETRIA
es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, por ello es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores. Para conseguirlo, se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.
El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.
Se distinguen tres tipos de enunciados: los axiomas, las definiciones y los teoremas.
Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta lo siguiente: las definiciones, axiomas y teoremas no pretenden (o no solo pretenden) describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelo). Esto lo que significa es que en adelante, las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado visual para nosotros. Si conservamos las ideas de punto, recta y plano en nuestra mente como lo que todo el mundo comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas, nos parecerán evidentes y carentes de importancia. Eso es porque consideramos un único modelo de geometría, muy relacionado con el espacio físico, que es precisamente el modelo sobre el que nos basamos para crear el sistema axiomático. Pero siendo rigurosos, cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo "tradicional". Por ejemplo, si en la noción de "punto" consideramos el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, si una recta es para nosotros entonces una familia de polinomios de la siguiente manera y un plano es entendido como el conjunto , es posible ver que TODOS los resultados de las distintas geometrías son válidos para este modelo.
UNIDADES DE MEDIDA
Medida, en sentido amplio y en el área de las matemáticas, es una función real, que se establece sobre una colección de subconjuntos de un conjunto. Una magnitud es algo que se puede medir si se compara con un patrón, ejemplo: longitud, peso, velocidad, etc. Las unidades son los nombres que reciben los patrones, que miden las magnitudes (metro, kilogramos, metros por segundo, etc).
Una magnitud se puede expresar con diferentes unidades. Ejemplo: La longitud se expresa en metros, pies, millas, etc. Por eso se estableció una unidad básica para cada magnitud existente, en el caso de la longitud, es el metro.
También existen múltiplos y submúltiplos, que son proporciones equivalentes de una sola unidad. Ejemplo: El kilómetro es un múltiplo del metro, porque es mil veces un metro y el milímetro es un submúltiplo del metro, porque es la milésima de un metro. Por lo anterior, los múltiplos y los submúltiplos no necesitaron de patrones para comparar por provenir de una única unidad.
Una magnitud puede ser fundamental, como la longitud, y también derivada, como la velocidad, porque está compuesta de otras magnitudes fundamentales que son la longitud y el tiempo.
Algunas magnitudes tienen una dirección y se denominan vectoriales, como lo son: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, etc.
la geometria
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.
El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.
Geometría y Unidades de Medidas
La Geometría
Es la rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
Unidades básicas.
Magnitud Nombre Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura termodinámica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Unidad de longitud: metro (m) El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2•10-7 newton por metro de longitud.
Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K por definición.
Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.
Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.
Unidad de intensidad luminosa
La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540•1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.
Unidades derivadas sin dimensión.
Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas
Ángulo plano Radián rad mm-1= 1
Ángulo sólido Estereorradián sr m2m-2= 1
Unidad de ángulo plano El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio.
Unidad de ángulo sólido El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera.
NOTA: no lo envio el foro de discucion porque esta bloqueado.. Disculpe como llego la información
profesora lo envie al otro trabajo diculpe pero voy a rectificar la otra pregunta
La geometría
Es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
Medir: Es la comparación de la magnitud que se está estudiando (como la longitud de una varilla, la masa de un cuerpo, el tiempo transcurrido entre dos eventos, etc.) con un patrón de medidas. Si cada persona tuviera su propio patrón de medida, sólo él comprendería el valor de su resultado y no podría establecer comparaciones a menos que supiera la equivalencia entre su patrón y el de su vecino. Por esta razón se ha acordado el establecimiento de un patrón que actualmente tiende a ser el Sistema Internacional (SI).
Tipos de medidas
Medidas directas: son el resultado de una comparación directa (usualmente con la ayuda de instrumentos) de una cantidad desconocida, con una cantidad conocida o estandarizada de la misma entidad.
Medidas indirectas: son aquellas que resultan del cálculo de un valor como función de una o más medidas directas. Ejemplo: el área de un cuadrado que se basa en la medida directa de su lado l:
La unidad de medida de longitud en el sistema internacional es el metro (m), pero existes otras unidades que son múltiplos y sub múltiplos del metro que se utilizan dependiendo de las dimensiones del objeto o forma que se esté estudiando.
Unidades de Longitud. ( )
Milímetro mm 0.001 metro
Centímetro cm 0.01 metro
Decímetro dm 0.1 metro
Metro m 1 metro
Decámetro Dam 10 metros
Hectómetro Hm 100 metros
Kilómetro Km 1000 metros
Miriámetro Mam 10000 metros
Unidades de área o superficie. ( )
Milímetro cuadrado
0.000001
Centímetro cuadrado
0.0001
Decímetro cuadrado
0.01
Metro cuadrado
1 m2
Decámetro cuadrado
100
Hectómetro cuadrado
10000
Kilómetro cuadrado
1000000
Unidades de Volumen. (m×m×m = m3)
Milímetro cúbico
0.000000001
Centímetro cúbico
0.000001
Decímetro cúbico
0.001
Metro cúbico
1 m3
Decámetro cúbico
1000
Hectómetro cúbico
1000000
Kilómetro cúbico
1000000000
Conversión de unidades
Unidades Inglesas Unidades SI Unidades CGS
Longitud:
Pulgada, plg
Pie, p
Milla, mi
0,0254 m
0.3048 m
1609 m
2,54 cm
30,48 cm
1,609×105 cm
Área:
Pulgada cuadrada plg2
Pie cuadrado p2
6,45×10-4
9,29×10-2
6,45
929
Volumen:
Pulgada cúbica plg3
Pie cúbico p3
1,64×10-5
2,83×10-2
16,387
2,8×104
Figuras en la geometría plana
Círculo: es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran comprendidos en una circunferencia. Usualmente, el círculo es el área, mientras que la circunferencia es la curva que lo delimita.
El segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos.
Una recta que atraviesa el círculo, cortando la circunferencia en dos puntos, se llama secante, mientras que una recta que toca al círculo en un sólo punto se denomina tangente.
Un círculo de radio r, acotará una superficie o área de:
El perímetro que delimita su circunferencia es:
Sector circular
Polígono: figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.
Polígonos regulares: son aquellos cuyos lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos son iguales.
Triángulo: polígono de tres lados.
Clasificación de los triángulos:
Equilátero: tiene los tres lados iguales Isósceles: tiene dos lados iguales. Escaleno: No tiene ningún lado igual.
Si un triángulo tiene los lados iguales, también son iguales sus ángulos. Un triángulo con dos lados iguales, también tiene dos ángulos iguales.
También son diferentes los ángulos.
Acutángulo: tiene los ángulos agudos. Rectángulo: tiene un ángulo recto. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
Cálculo del área de un triángulo
La superficie o área de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es un segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto) y dividiendo en dos. Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a esa base el área AT queda expresada como:
Propiedades de los triángulos
La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°.
Cuadrilátero: polígono de cuatro lados. Una propiedad de los cuadriláteros, es que la suma de todos sus ángulos interiores son cuatro ángulos rectos, es decir, 360º.
Paralelogramo: polígono formado por cuatro lados, paralelos dos a dos.
Tipos de cuadriláteros
Cuadrado: paralelogramo que posee cuatro lados iguales en longitud y lados opuestos paralelos, con la condición de que sus ángulos internos son rectos.
Rectángulo: paralelogramo cuyos lados forman ángulos rectos entre sí. La longitud de sus lados es igual dos a dos.
h
Rombo: paralelogramo, que posee cuatro lados iguales en longitud y lados opuestos paralelos, pero con la condición de que sus ángulos internos no sean rectos.
Trapecio: cuadrilátero no paralelogramo, que tienen un sólo par de lados opuestos, paralelos.
Trapezoide: cuadrilátero no paralelogramo. Esto es, un polígono cerrado de cuatro lados, ninguno de los cuales es paralelo a otro.
Romboide: paralelogramo cuyos lados adyacentes y ángulos consecutivos son de distinta medida.
Pentágono
Apotema: línea perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular al punto medio de uno de sus lados.
Elementos básicos de las figuras planas
Mediana: En un triángulo, la mediana es la línea que une cualquier vértice con el punto medio del lado opuesto al vértice. Divide al triángulo en dos partes con la misma área. Las tres medianas se intersecan en el baricentro o centro de gravedad del triángulo o centro idee.
Trigonometría
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Trigonometría plana
El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.
Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.
Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que
1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes
Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ' y el de segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por tanto,
Se sobreentiende que el último valor es en radianes.
Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces
Funciones trigonométrica
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
PUNTOS y RECTAS
Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.
Si marcamos un punto en una recta, quedará dividida en dos partes llamadas semirrectas. El punto marcado se denomina origen de la semirrecta
Si en una recta marcamos dos puntos, quedará dividida en tres partes: dos semirrectas y un segmento. Los puntos se denominan extremos
del segmento.
MEDIDAS de SUPERFICIE
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.
CIRCUNFERENCIA y CIRCULO
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.
CUADRILATERO
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados.
POLIGONOS
Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas.
PERIMETROS
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.
CALCULO de SUPERFICIES
Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.
CUERPOS
Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras:
- Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y poliedros irregulares.
- Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva.
Amado cachutt
C.I 19.990.806
Ing petroquimica
Seccion I013D
El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.
Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.
Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].
Sinembargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
Trigonometría plana
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.
Razones trigonométricas de ángulos agudos
La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.
En un ángulo a de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de a, y se escribe sen a, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa
2. Teorema de pitágoras
El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así:
c2 = a2+b2
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del triángulo).
El cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es recto (o sea, mide exactamente 90°)
Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo:
Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá:
c2 = (3)2 + (4)2
elevando al cuadrado, eso da:
c2 = 9 +16 = 25
para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:
o sea que c = 5.
Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras.
así por ejemplo, en el triángulo:
hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando:
c2- b2 = a2
Luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así:
a2 = c2 - b2
y ya está despejada.
sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12)
a2 = (15)2 - (12)2
elevamos al cuadrado y queda:
a2 = 225 - 144 = 81
finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a.
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función). Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.
JORGE LOPEZ
SECCION: I-013D INGENIERIA PETROQUIMICA
hola profesora buenos dias estuve cheqeando el enlace y esta bastante bueno de verdad aclare algunas dudas con respecto a geimetria muy pero muy buena la pagina
JORGE L. LOPEZ G.
SECCION:I-013-D
hola profesora vilma realmente estoy muy contento con la ayuda que nos ha dado con estos tips y este contenido tan interesante.. espero que sigamos asi para asi lograr un buen proposito para toda la seccion!!! gracias...
Amado Cachutt
C.I 19.990.806
Seccion I 013D ing. petroquimica
Bueno prof yo investige sobre La geometría que es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
PUNTOS y RECTAS
Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.
Si marcamos un punto en una recta, quedará dividida en dos partes llamadas semirrectas. El punto marcado se denomina origen de la semirrecta
Si en una recta marcamos dos puntos, quedará dividida en tres partes: dos semirrectas y un segmento. Los puntos se denominan extremos
del segmento.
MEDIDAS de SUPERFICIE
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.
CIRCUNFERENCIA y CIRCULO
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.
CUADRILATERO
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados.
POLIGONOS
Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas.
PERIMETROS
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.
CALCULO de SUPERFICIES
Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.
CUERPOS
Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras:
- Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y poliedros irregulares.
- Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva.
PROF EN REALIDA NO COLOQUE MAS NADA PORQUE ME PARECIO QUE YA MIS COMPQÑEROS HABIAN EXPLICADO CON RELACION AL OTRO TEMA.
La geometria: es la rama de la matematica que estudia idealizacionaciones del espacio:puntos, rectas, planos, poligonos, poliedros, curvas, superficie,etc.
Se utiliza para solucionar problemas concretas y es la justificacion teoricas de muchos instrumentos:compas, teodolito, pantografo.
una partes importantes de la geometia clasica es el estudio de la construccioncon la regla y compas.
Clases de geometrías :Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si nosotros agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas válidos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más).
Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todas las geometrías (aunque no siempre enunciados en la misma forma). A esta geometría se le llama geometría absoluta o geometría neutral.
Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías (en las cuales todo lo dicho hasta aquí es válido). Si damos por cierto el axioma del paralelismo de Euclides, obtenemos la Geometría euclidiana.
Agregando a éstos los axiomas relativos al espacio, obtenemos la geometría espacial (éstos últimos no son más que extensiones de los axiomas relativos al plano). La geometría descriptiva es la que se encarga de posibilitar la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano.
Todos estos sistemas axiomáticos permiten definir segmentos y compararlos. Esto permite a su vez definir un patrón de medida y asignar una medida a los segmentos. Se llaman por tanto geometrías métricas. Hay sistemas de axiomas donde esto no es posible y se dice que son una geometría de incidencia.
Utilizando otros axiomas de paralelismo (distintos al de Euclides) se obtienen las geometrías no euclídeas.
Finalmente, incluyendo un axioma que considere la existencia de los puntos del infinito, obtenemos la geometría proyectiva
Trigonometria:
es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.
Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Funciones trigonometricas:
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
Es el cociente del seno entre el coseno.
otras razones trigonometricas:
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:
secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:
cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:
Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
hola profe. esta bastasnte bueno lo de geometria y muy completo es casi todo la que hamos visto y creo que parte de lo que nos falta ver.
Ortiz Anddry C.I 19891583
La geometría
Es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
Medir: Es la comparación de la magnitud que se está estudiando (como la longitud de una varilla, la masa de un cuerpo, el tiempo transcurrido entre dos eventos, etc.) con un patrón de medidas. Si cada persona tuviera su propio patrón de medida, sólo él comprendería el valor de su resultado y no podría establecer comparaciones a menos que supiera la equivalencia entre su patrón y el de su vecino. Por esta razón se ha acordado el establecimiento de un patrón que actualmente tiende a ser el Sistema Internacional (SI).
Tipos de medidas
Medidas directas: son el resultado de una comparación directa (usualmente con la ayuda de instrumentos) de una cantidad desconocida, con una cantidad conocida o estandarizada de la misma entidad.
Medidas indirectas: son aquellas que resultan del cálculo de un valor como función de una o más medidas directas. Ejemplo: el área de un cuadrado que se basa en la medida directa de su lado l:
La unidad de medida de longitud en el sistema internacional es el metro (m), pero existes otras unidades que son múltiplos y sub múltiplos del metro que se utilizan dependiendo de las dimensiones del objeto o forma que se esté estudiando.
Figuras en la geometría plana
Círculo: es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran comprendidos en una circunferencia. Usualmente, el círculo es el área, mientras que la circunferencia es la curva que lo delimita.
El segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. A las cuerdas de longitud máxima (aquellas que pasan por el centro) se les llama diámetros. Se conoce como radio del círculo a cualquier segmento que une el centro con la circunferencia, así como a la longitud de los mismos.
Una recta que atraviesa el círculo, cortando la circunferencia en dos puntos, se llama secante, mientras que una recta que toca al círculo en un sólo punto se denomina tangente.
Un círculo de radio r, acotará una superficie o área de:
El perímetro que delimita su circunferencia es:
Sector circular
Polígono: figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.
Polígonos regulares: son aquellos cuyos lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos son iguales.
Triángulo: polígono de tres lados.
Clasificación de los triángulos:
Equilátero: tiene los tres lados iguales Isósceles: tiene dos lados iguales. Escaleno: No tiene ningún lado igual.
Si un triángulo tiene los lados iguales, también son iguales sus ángulos. Un triángulo con dos lados iguales, también tiene dos ángulos iguales.
También son diferentes los ángulos.
Acutángulo: tiene los ángulos agudos. Rectángulo: tiene un ángulo recto. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
Cálculo del área de un triángulo
La superficie o área de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (donde la altura es un segmento perpendicular que parte de la base hasta llegar al vértice opuesto) y dividiendo en dos. Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a esa base el área AT queda expresada como:
Propiedades de los triángulos
La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°.
Cuadrilátero: polígono de cuatro lados. Una propiedad de los cuadriláteros, es que la suma de todos sus ángulos interiores son cuatro ángulos rectos, es decir, 360º.
Paralelogramo: polígono formado por cuatro lados, paralelos dos a dos.
Tipos de cuadriláteros
Cuadrado: paralelogramo que posee cuatro lados iguales en longitud y lados opuestos paralelos, con la condición de que sus ángulos internos son rectos.
Rectángulo: paralelogramo cuyos lados forman ángulos rectos entre sí. La longitud de sus lados es igual dos a dos.
h
Rombo: paralelogramo, que posee cuatro lados iguales en longitud y lados opuestos paralelos, pero con la condición de que sus ángulos internos no sean rectos.
Trapecio: cuadrilátero no paralelogramo, que tienen un sólo par de lados opuestos, paralelos.
Trapezoide: cuadrilátero no paralelogramo. Esto es, un polígono cerrado de cuatro lados, ninguno de los cuales es paralelo a otro.
Romboide: paralelogramo cuyos lados adyacentes y ángulos consecutivos son de distinta medida.
Pentágono
Apotema: línea perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular al punto medio de uno de sus lados.
Elementos básicos de las figuras planas
Mediana: En un triángulo, la mediana es la línea que une cualquier vértice con el punto medio del lado opuesto al vértice. Divide al triángulo en dos partes con la misma área. Las tres medianas se intersecan en el baricentro o centro de gravedad del triángulo o centro idee.
Trigonometría
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Trigonometría plana
El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.
Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.
Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que
1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes
Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ' y el de segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por tanto,
Se sobreentiende que el último valor es en radianes.
Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces
Funciones trigonométrica
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
Álgebra
El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
La palabra álgebra deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة ) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para el solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.
Etimológicamente, la palabra álgebra (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).
Clasificación
El álgebra dio lugar con el tiempo a desarrollos más complejos, de tal manera que es común dividir hoy en día todo el álgebra en las siguientes categorías:
Álgebra elemental, que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos.
Álgebra abstracta, que se ocupa del estudio en sí mismas de las estructuras algebraicas y sus propiedades. Dentro de esta se distingue.
Álgebra lineal, estudia las propiedades especificas de los espacios vectoriales.
Álgebra universal, estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas.
Teoría de números algebraicos, una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos los cuales son raíces de los polinomios con coeficientes racionales.
Geometría algebraica, combina el Álgebra abstracta, especialmente el
Álgebra conmutativa, con la geometría.
Álgebra Elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, x, y). Esto es útil porque:
Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de como resolverlas.
Permite la formulación de relaciones funcionales.
El álgebra abstracta es el campo de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.
El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna.
Históricamente, las estructuras algebraicas surgen en algún otro campo distinto a la propia álgebra. Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática.
Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son los:
Magmas
Cuasigrupos
Semigrupos
Monoides
Grupos
Otros ejemplos más complejos son:
Anillos y cuerpos
Módulos y Espacios vectoriales
Álgebras asociativas y Álgebras de Lie
Retículos y álgebras de Boole
En álgebra universal, todas esas definiciones y hechos se coleccos provee del formalismo para comparar las diferentes estructuras algebraicas.
Estructura algebraica
En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas, es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen.
Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica.
Las estructuras algebraicas principales son:
Semigrupo
Monoide
Grupo
Anillo
Cuerpo
Módulo
Espacio vectorial
Álgebra
Signos y Símbolos [editar]En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc.
Aquí algunos ejemplos:
Signos y Símbolos
Expresión Uso
+ A demás de expresar adicion, también es usada para expresar operaciones binarias
c ó k Expresan Términos constantes
Primeras letras del alfabeto
a,b,c,... Se utiliza para expresar cantidades conocidas
Ultimas letras del alfabeto
...,x,y,z Se utiliza para expresar incógnitas
n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)
Exponentes y subíndices
a',a'',a''', - a1,a2,a3 Expresar cantidades de la misma especie de diferente magnitud.
Historia del álgebra
El álgebra (una de las ramas más importantes de las matemáticas) tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en la matemática para componer su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta entonces.
Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupos matemáticos y sus extensiones, y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal.
El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la matemática como la lógica (álgebra de Boole), el análisis matemático y la topología (álgebra topológica).
Las etapas del desarrollo del álgebra simbólica vagamente son:
Álgebra retórica, que fue desarrollada por los babilónicos siguió dominante hasta el siglo XVI
Álgebra constructiva geométrica, que fue acentuada por los matemáticos griegos indios y clásicos de Vedic;
Álgebra sincopada, según lo desarrollado por Diophantus y el manuscrito de Bakhshali; y
Álgebra simbólica, que se considera su culminación con el trabajo de Leibniz.
Linea del tiempo de los mas importantes progesos del álgebra:
Al rededor de 1800 A.C.: La vieja tableta babilónica de Strassburg busca la solución de una ecuación elíptica cuadrática.
Al rededor de 1600 A.C.: La tableta de Plimpton 322 da una tabla de triples Pythagorean en escritura cuneiforme babilónica.
Al rededor de 800 A.C.: El matemático hindú Baudhayana, en su Baudhayana Sulba Sutra, descubre triples Pythagorean algebraico, encuentra las soluciones geométricas de ecuaciones lineares y de ecuaciones cuadráticas de las formas ax2 = c y ax2 + bx = c, y encuentra dos sistemas de soluciones integrales positivas a un sistema de las ecuaciones simultáneas de Diophantine.
Al rededor de 600 A.C.: El hindú matemático Apastamba, en su Apastamba Sulba Sutra, soluciona la ecuación linear general y utiliza las ecuaciones simultáneas de Diophantine con hasta cinco desconocido.
Al rededor de 300 A.C.: En el libro II de sus elementos, Euclid da una construcción geométrica con las herramientas euclidianas para la solución de la ecuación cuadrática para las raíces verdaderas positivas. La construcción es debido a la escuela Pythagorean de la geometría.
Al rededor de 300 A.C.: Una construcción geométrica para la solución del cúbico se busca (doblando el problema del cubo). Es bien sabido ahora que el cúbico general no tiene ninguna tal solución usando las herramientas euclidianas.
Al rededor de 100 A.C.: Las ecuaciones algebraicas se tratan en el suanshu chino de Jiuzhang del libro de las matemáticas (los nueve capítulos en el arte matemático), que contiene las soluciones de las ecuaciones lineares solucionadas usando la regla de la posición falsa doble, las soluciones geométricas de ecuaciones cuadráticas, y las soluciones de las matrices equivalentes al método moderno, para solucionar los sistemas de ecuaciones lineares simultáneas.
Al rededor de 100 A.C.: El manuscrito de Bakhshali escrito en la India antigua utiliza una forma de notación algebraica usando las letras del alfabeto y otras muestras, y contiene ecuaciones cúbicas y quartic, las soluciones algebraicas de ecuaciones lineares con hasta cinco desconocido, el fórmula algebraico general para la ecuación cuadrática, y las soluciones de ecuaciones cuadráticas indeterminadas y de ecuaciones simultáneas.
Al rededor de 150 D.C: Héroe egipcio del matemático de Hellenized de Alexandría, ecuaciones algebraicas de los convites en tres volúmenes de matemáticas.
Al rededor de 200: El matemático babilónico Diophantus de Hellenized, que vivió en Egipto y a menudo se considera el “padre de la álgebra”, escribe su famosa Aritmética , un trabajo que ofrece las soluciones de ecuaciones algebraicas y en la teoría de números.
499: El matemático indio Aryabhata, en su tratado Aryabhatiya, obtiene soluciones del número entero a las ecuaciones lineares por un método equivalente el moderno, describe la solución integral general de la ecuación linear indeterminada y da las soluciones integrales de ecuaciones lineares indeterminadas simultáneas.
Al rededor de 625: El matemático chino Wang Xiaotong encuentra las soluciones numéricas de ecuaciones cúbicas.
628: El matemático indio Brahmagupta, en sus esputos Siddhanta de Brahma del tratado, inventa el método del chakravala de solucionar ecuaciones cuadráticas indeterminadas, incluyendo la ecuación de Pell, y da las reglas para solucionar ecuaciones lineares y cuadráticas.
820: La álgebra de la palabra se deriva de las operaciones descritas en el tratado escrito por el wa-l-Muqabala titulado al-Ḵwārizmī persa del al-Jabr del al-Kitab de Mūsā del ibn de Muḥammad del matemático (significado “el libro compendioso en el cálculo Completion y balanceando”) en la solución sistemática de ecuaciones lineares y cuadráticas. El al-Khwarizmi se considera a menudo como el “padre de la álgebra”, mucho que de trabajos sobre la reducción fue incluido en el libro y agregado a muchos métodos que ahora tenemos en álgebra.
Al rededor de 850: El al-Mahani persa del matemático concibió la idea de reducir problemas geométricos tales como duplicar el cubo a los problemas en álgebra.
Al rededor de 850: El matemático indio Mahavira soluciona varias ecuaciones cuadráticas, cúbicas, quartic, quintic e higher-order, así como ecuaciones cuadráticas, cúbicas e higher-order indeterminadas.
Al rededor de 990: El al-Karaji persa de Abu Bakr, en su al-Fakhri del tratado, más futuro desarrolla álgebra ampliando la metodología del al-Khwarizmi's para incorporar energías integrales y las raíces integrales de cantidades desconocidas. Él substituye operaciones geométricas de la álgebra por operaciones aritméticas modernas, y define los monomios x, x2, x3,… y 1/x, 1/x2, 1/x3,… y da las reglas para los productos de cualesquiera dos de éstos.
Al rededor de 1050: El matemático chino Jia Xian encuentra las soluciones numéricas de ecuaciones polinómicas.
1072: El matemático persa Omar Khayyam desarrolla geometría algebraica y, en el tratado en la demostración de problemas de la álgebra, da una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con las soluciones geométricas generales encontradas por medio de intersecar secciones cónicas.
1114: El matemático indio Bhaskara, en su Bijaganita (álgebra), reconoce que un número positivo tiene una raíz cuadrada positiva y negativa, y soluciona varias ecuaciones polinómicas cúbicas, quartic e higher-order, así como la ecuación indeterminant cuadrática general.
1202: La álgebra se introduce a Europa en gran parte a través del trabajo de Leonardo Fibonacci de Pisa en sus ábacos de Liber del trabajo.
Al rededor de 1300: El matemático chino Zhu Shijie se ocupa de álgebra polinómica, soluciona ecuaciones cuadráticas, ecuaciones simultáneas y ecuaciones con hasta cuatro desconocido, y soluciona numéricamente algunas ecuaciones polinómicas quartic, quintic e higher-order.
Al rededor de 1400: El matemático indio Madhava de Sangamagramma encuentra los métodos iterativos para la solución aproximada de ecuaciones no lineares.
1535: Nicolo Fontana Tartaglia y otros los matemáticos en Italia solucionó independientemente la ecuación cúbica general.
1545: Girolamo Cardano publica el magna de Ars - el gran arte que da la solución de Fontana a la ecuación quartic general.
1572: Rafael Bombelli reconoce las raíces complejas del cúbico y mejora la notación actual.
1591: Francois Viete desarrolla la notación simbólica mejorada para las varias energías de un desconocido y utiliza las vocales para los desconocido y las consonantes para las constantes adentro en isagoge del analyticam del artem.
1631: Thomas Harriot en una publicación del posthumus utiliza la notación exponencial y es el primer para utilizar símbolos para indicar “menos que” y “mayor que”.
1682: Gottfried Wilhelm Leibniz desarrolla su noción de la manipulación simbólica con las reglas formales que él llama los generalis del characteristica.
1680s: El matemático japonés Kowa Seki, en su método de solucionar dissimulated problemas, descubre el determinante, y los números de Bernoulli.
1750: Gabriel Cramer, en su introducción del tratado al análisis de curvas algebraicas, indica la regla de Cramer y estudia curvas, matrices y determinantes algebraicos.
1824: Niels Henrik Abel probó que la [ecuación quintic]] general es insoluble por los radicales.
1832: La teoría de Galois es desarrollada por Évariste Galois en su trabajo sobre álgebra abstracta.
Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raices[1] como su grado, dado que las raices se cuenten con sus multiplicidades. Equivalentemente, el cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando mulitplicidades.
Historia
Pedro Rothe (Petrus Roth) en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado n (a coeficientes reales) puede tener n soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguo de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué es lo que se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración es siempre cierta; en particular, muestra que la ecuación
a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raiz 1 tiene multiplicidad 2)
Leibnitz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.
El primer intento que se hizo para demostrar el teorema fue hecho por d'Alambert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teormea (actualmente conocido como el teormea de Puiseux) que no sería demostrado sino un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.
A finales del siglo XVIII, dos nuevas pruebas fueron presentadas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.
El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito a Argand.
Ninguna de las pruebas mencionadas arriba son constructivas. Fue Weierstass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.
Demostración [editar]Sea p un polinomio de grado n. p es una función entera. Para cada constante positiva m, existe un número real positivo r tal que
Si p no tiene raices, la función f = 1 / p, es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real ε mayor que cero, existe un número positvo r tal que
Concluimos que la función f es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si f es una función entera y acotada, entonces, f es constante y esto es una contradicción.
De manera que f no es entera y por tanto p tiene al menos una raiz. p se puede escribir por tanto como el producto
donde α1 es una raiz de p y q es un polinomio de grado n − 1. Por el argumento anterior, el polinomio q a su vez tiene al menos una raiz y se lo puede factorizar nuevamente.
Repitiendo este proceso n − 1 veces[2], concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto
donde α1 ... αn son las raices de p (no necesariamente distintas) y k es una constante.
Notas ↑ Se dice que el número z es una raiz de un polinomio p si p(z) = 0.
↑ En el último paso, lo que queda es un polinomio de grado uno multiplicado por una constante
Joelvis López C.I. 20117287
Sección I-013-D
Ingenieria Petroquímica
El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.
La palabra álgebra deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة ) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para el solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.
TRIGONOMETRIA
La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.
Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
UNIDADES ANGULARES [editar]En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS [editar]El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
Es el cociente del seno entre el coseno.
OTRAS RAZONES TRIGONOMETRICAS [editar]Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:
secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:
cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:
Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS [editar]En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuyo tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS [editar]A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Radián Ángulo sen cos tan csc sec ctg
SENTIDO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS [editar]Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.
La distancia , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas
La taNgente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante [editar]Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.
Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 π rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 π rad, el seno vale 1 y el coseno 0.
Segundo cuadrante [editar]Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 π rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 π rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los π rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 π rad, hasta que valga 0, para a= π rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 π rad, hasta –1, para a= π rad.
La tangente conserva la relación:
incluyendo el signo de estos valores.
Tercer cuadrante [editar]En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de π rad a 1,5 π rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para π rad:
Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto A se acera a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente.
Cuando el ángulo a alcance 1,5 π rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, notese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante [editar]En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 π rad y 2 π rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 π rad:
hasta los que toman para 2 π rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando a, vale 2 π o 0 π al completar una rotación completa los puntos A, B y C, coinciden en D, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Representación gráfica [editar]
Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por π Radián.
Identidades trigonométricas [editar]Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α.
Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:
sen (90 + α) = cos α
cos (90 – α) = sen α
sen (180 – α) = sen α
cos (180 – α) = –cos α
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2α - sen2α
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β
sen2(α) = 1/2 × (1 – cos(2 × α));
cos2(α) = 1/2 × (1 + cos(2 × α));
2sen(α) × Cos(β)=sen(α + β)Cos(α - β)
Véase también: Sinusoide
Función tangente [editar]En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos
tan (π/2) = tan (90°) = +∞
tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞
tan (0) = 0
tan (π/4) = tan (45°) = 1
tan (π/3) = tan (60°)=
tan (π/6) = tan (30°) =
Una identidad de importancia con la tangente es:
La geometría clásica se encargaba de buscar construcciones con regla y compás. Posteriormente, dado que toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre unos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos, y la barrera entre álgebra y geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen [1], que define la geometría como el estudio los invariantes de un conjunto (como puede ser por ejemplo, pero no necesariamente, el espacio) mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de transformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.
La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
profesora era para decirle que vi los videos que puso en la pagina principal y la actividad que usted mando ya lo realize la semana pasada
quiero decirle que intente meterme por la pagina y no pude dice que la clave que usted nos dio no me puede funcionar.. nose si es el lugar donde estoy o un problema en ese momento .. sin mas nada que decirle bueno nos vemos despues..
La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
PUNTOS y RECTAS
Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.
Si marcamos un punto en una recta, quedará dividida en dos partes llamadas semirrectas. El punto marcado se denomina origen de la semirrecta
Si en una recta marcamos dos puntos, quedará dividida en tres partes: dos semirrectas y un segmento. Los puntos se denominan extremos
del segmento.
MEDIDAS de SUPERFICIE
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.
CIRCUNFERENCIA y CIRCULO
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.
CUADRILATERO
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados.
POLIGONOS
Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas.
PERIMETROS
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.
CALCULO de SUPERFICIES
Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.
CUERPOS
Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras:
- Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y poliedros irregulares.
- Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva
La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con las Ecuaciones diferenciales). Es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva y del Dibujo Técnico), e incluso en la fabricación de artesanías.
PUNTOS y RECTAS
Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin.
Si marcamos un punto en una recta, quedará dividida en dos partes llamadas semirrectas. El punto marcado se denomina origen de la semirrecta
Si en una recta marcamos dos puntos, quedará dividida en tres partes: dos semirrectas y un segmento. Los puntos se denominan extremos
del segmento.
MEDIDAS de SUPERFICIE
Para medir una superficie, lo que hacemos es ver cuantas veces entra en ella una unidad de medida. La unidad principal de superficie se llama metro cuadrado, y corresponde a un cuadrado de un metro de lado.
Para medir superficies mayores y menores que el metro cuadrado, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 100 en 100.
CIRCUNFERENCIA y CIRCULO
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.
CUADRILATERO
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados.
POLIGONOS
Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas.
PERIMETROS
Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.
CALCULO de SUPERFICIES
Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.
CUERPOS
Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras:
- Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y poliedros irregulares.
- Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva
Teorema de pitágoras
El teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica exclusivamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. El teorema se enuncia así:
c2 = a2+b2
donde a y b son los lados del triángulo rectángulo, y c siempre es la hipotenusa (el lado más grande del triángulo).
El cuadrito rojo en la esquina del triángulo indica solamente que ese ángulo es recto (o sea, mide exactamente 90°)
Para usar el teorema de Pitágoras, sólo hay que sustituir los datos que te dan, por ejemplo, en el triángulo rectángulo:
Te dan a (que es 3) y b (que es 4), así que sustituimos en la fórmula, y eso nos dá:
c2 = (3)2 + (4)2
elevando al cuadrado, eso da:
c2 = 9 +16 = 25
para obtener el valor de c, sacamos raíz cuadrada:
o sea que c = 5.
Cuando lo que te falta es uno de los catetos (uno de los lados, pues) , hay que despejar de la fórmula la a2 o la b2, la que quieras.
así por ejemplo, en el triángulo:
hay que despejar la a de la fórmula del teorema de Pitágoras, la b2 está sumando, la paso restando:
c2- b2 = a2
Luego, como es, una igualdad, puedo escribirla así:
a2 = c2 - b2
y ya está despejada.
sustituimos ahora los valores que nos dan de c y b ( 15 y 12)
a2 = (15)2 - (12)2
elevamos al cuadrado y queda:
a2 = 225 - 144 = 81
finalmente, sacamos raíz al resultado, y ese será el valor de a.
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma trix = a (donde tri: es una de las seis funciones trigonométricas y a: número cualquiera en el codominio de la función).
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS [editar]El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
Es el cociente del seno entre el coseno.
OTRAS RAZONES TRIGONOMETRICAS [editar]Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:
secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:
cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:
Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
La trigonometría (< Griego trigōnon "triángulo" + metron "medida"[1], de ahí su significado etimológico viene a ser la medición de los triángulos). La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto la trigonometría se vale del estudio de las funciones o razones trigonométricas las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas, de la geometría del espacio.
Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélite.
funciones trigonometricas:
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las funciones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sine" en inglés) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,
Es el cociente del seno entre el coseno.
Otras razones trigonométricas [editar]Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la inversa de seno:
secante: (abreviado como sec) es la inversa de coseno:
cotangente: (abreviado como cot o cta) es la inversa de la tangente:
Normalmente se emplean las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen muchísimo, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Funciones trigonométricas inversas [editar]En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:
y es igual al seno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.
si:
y es igual al coseno de x, la función inversa:
x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.
si:
y es igual al tangente de x, la función inversa:
x es el arco cuyo tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.
Valor de las funciones trigonométricas [editar]A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Radián Ángulo sen cos tan csc sec ctg
Sentido de las funciones trigonométricas [editar]Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y un círculo con centro en O y radio 1; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto B.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo a sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto C, la vertical que pasa por C, corta al eje x en A, la vertical que pasa por B corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
La distancia , es el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante [editar]Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo a.
Para a = 0, tenemos que A, C, y D coinciden en B, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de a, las distancias AC y BD aumentaran progresivamente, mientras que OA disminuirá, percatarse que OA y AC están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero BD no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por B, en el momento en el que el ángulo a sea 0,5 π rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia BD será infinita, la tangente toma valor infinito cuando a= 0,5 π rad, el seno vale 1 y el coseno 0.
Segundo cuadrante [editar]Cuando el ángulo a supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento AC, el coseno aumenta según el segmento OA, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo a inferior a 0,5 π rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por B no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los 0,5 π rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por B en un punto B real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo a aumenta progresivamente hasta los π rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de a, disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para a= 0,5 π rad, hasta que valga 0, para a= π rad, el coseno, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para a= 0,5 π rad, hasta –1, para a= π rad.
La tangente conserva la relación:
incluyendo el signo de estos valores.
Tercer cuadrante [editar]En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo a de π rad a 1,5 π rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para π rad:
Cuando el ángulo a aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto A se acerca a O, y el segmento OA, el coseno se hace más pequeño en el lado negativo de las x, el punto C, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por A, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por B, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, la tangente.
Cuando el ángulo a alcance 1,5 π rad, el punto A coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento OC será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por B serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, notese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante [editar]En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo a entre 1,5 π rad y 2 π rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para 1,5 π rad:
hasta los que toman para 2 π rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo a, también aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando a, vale 2 π o 0 π al completar una rotación completa los puntos A, B y C, coinciden en D, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Representación gráfica [editar]
Representación de las funciones trigonométricas en el plano xy, los valores en el eje x multiplicados por π Radián.
Identidades trigonométricas [editar]Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α.
Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:
sen (90 + α) = cos α
cos (90 – α) = sen α
sen (180 – α) = sen α
cos (180 – α) = –cos α
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2α - sen2α
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β
sen2(α) = 1/2 × (1 – cos(2 × α));
cos2(α) = 1/2 × (1 + cos(2 × α));
2sen(α) × Cos(β)=sen(α + β)Cos(α - β)
Véase también: Sinusoide
Función tangente [editar]En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos
tan (π/2) = tan (90°) = +∞
tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞
tan (0) = 0
tan (π/4) = tan (45°) = 1
tan (π/3) = tan (60°)=
tan (π/6) = tan (30°) =
Una identidad de importancia con la tangente es:
GEOMETRIA
Es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
Tipos de medidas
Medidas directas: son el resultado de una comparación directa (usualmente con la ayuda de instrumentos) de una cantidad desconocida, con una cantidad conocida o estandarizada de la misma entidad.
Medidas indirectas: son aquellas que resultan del cálculo de un valor como función de una o más medidas directas.
La unidad de medida de longitud en el sistema internacional es el metro (m), pero existes otras unidades que son múltiplos y sub múltiplos del metro que se utilizan dependiendo de las dimensiones del objeto o forma que se esté estudiando
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2•10-7 newton por metro de longitud.
Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.
Figuras en la geometría plana
Círculo: es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran comprendidos en una circunferencia. Usualmente, el círculo es el área, mientras que la circunferencia es la curva que lo delimita.
Polígono: figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.
Polígonos regulares: son aquellos cuyos lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos son iguales.
Triángulo: polígono de tres lados.
Clasificación de los triángulos:
Equilátero: tiene los tres lados iguales Isósceles: tiene dos lados iguales. Escaleno: No tiene ningún lado igual.
Acutángulo: tiene los ángulos agudos. Rectángulo: tiene un ángulo recto. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
SECC:I-013
ING PETROQUIMICA
YOHANSIS MERIÑO CI:20030534
Es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las construcciones con regla y compás.
Tipos de medidas
Medidas directas: son el resultado de una comparación directa (usualmente con la ayuda de instrumentos) de una cantidad desconocida, con una cantidad conocida o estandarizada de la misma entidad.
Medidas indirectas: son aquellas que resultan del cálculo de un valor como función de una o más medidas directas.
La unidad de medida de longitud en el sistema internacional es el metro (m), pero existes otras unidades que son múltiplos y sub múltiplos del metro que se utilizan dependiendo de las dimensiones del objeto o forma que se esté estudiando
Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo
Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2•10-7 newton por metro de longitud.
Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.
Figuras en la geometría plana
Círculo: es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran comprendidos en una circunferencia. Usualmente, el círculo es el área, mientras que la circunferencia es la curva que lo delimita.
Polígono: figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados.
Polígonos regulares: son aquellos cuyos lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos son iguales.
Triángulo: polígono de tres lados.
Clasificación de los triángulos:
Equilátero: tiene los tres lados iguales Isósceles: tiene dos lados iguales. Escaleno: No tiene ningún lado igual.
Acutángulo: tiene los ángulos agudos. Rectángulo: tiene un ángulo recto. Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
buenas tades profesora espero que se encuentre bien le doy las gracias por los videos estan muy buenos y util para este corte ya que el contenido como tal tiene que ver mucho con este, este nos ayudara a tener un mayor conocimiento sobre la materia, sin mas nada que decir me despido deseandole un buen dia chao....
GEOMETRIA
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Lo novedoso de la Geometría Analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ).
EGDALY CHACON
CI19410962
ING PETROQUIMICA
SECCION 009
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Emilys Paez dijo
bueno la geometria es un area de la matematica que estudia las propiedades de las figuras en el plano y en el espasio.Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si nosotros agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas válidos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más).
Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todas las geometrías (aunque no siempre enunciados en la misma forma). A esta geometría se le llama geometría absoluta o geometría neutral.
Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías (en las cuales todo lo dicho hasta aquí es válido). Si damos por cierto el axioma del paralelismo de Euclides, obtenemos la Geometría euclidiana.
Agregando a éstos los axiomas relativos al espacio, obtenemos la geometría espacial (éstos últimos no son más que extensiones de los axiomas relativos al plano). La geometría descriptiva es la que se encarga de posibilitar la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano.
Todos estos sistemas axiomáticos permiten definir segmentos y compararlos. Esto permite a su vez definir un patrón de medida y asignar una medida a los segmentos. Se llaman por tanto geometrías métricas. Hay sistemas de axiomas donde esto no es posible y se dice que son una geometría de incidencia.
Utilizando otros axiomas de paralelismo (distintos al de Euclides) se obtienen las geometrías no euclídeas.
Finalmente, incluyendo un axioma que considere la existencia de los puntos del infinito, obtenemos la geometría proyectiva.
31 Mayo 2007 | 08:23 PM